Die Fraktalität des Wissens

Die jährliche Zahl der wissenschaftlichen Publikationen nimmt exponentiell zu

Es ist ein Gemeinplatz, dass das verfügbare Wissen der Menschheit sehr schnell wächst. Genauer müsste man vielleicht sagen: die verfügbare Information, aber ich möchte zwischen diesen Begriffen hier nicht unterscheiden. Dieses Wachstum gilt für die Zahl gedruckter Bücher ebenso wie für Information im Internet, und natürlich auch für wissenschaftliche Publikationen. Man sieht das hier beispielhaft für die Zahl der Einträge in PubMed.

Das ist die Datenbank, die alle medizinischen und biologischen Zeitschriftenartikel verzeichnet. Wie man sieht, werden von Jahr zu Jahr mehr Artikel veröffentlicht. Und nicht nur das: Die Zunahme scheint sich zu beschleunigen. Eine Regression bestätigt das: Eine Exponentialfunktion passt mit einem Bestimmtheitsmaß von R^²=0,97. Die jährliche Zunahme beträgt laut der gefitteten Gleichung ebenso wie laut Durchschnitt (graue Linie) der Veränderungen, rund 4%. Jahr um Jahr produzieren die Lebenswissenschaftler der Welt durchschnittlich 4% mehr Artikel als im Jahr davor.

Man darf annehmen, dass das in anderen Wissenschaften nicht anders ist. Die jährliche Zahl der Publikationen nimmt exponentiell zu. Nun ist exponentielles Wachstum immer etwas, das einen stutzig machen sollte. Wir Menschen können mit exponentiellen Prozessen intuitiv nicht umgehen. Unsere kognitive Ausstattung ist nicht dafür eingerichtet. Wenn etwas exponentiell geschieht, nennen wir es meistens: plötzlich. "Plötzlich war das Brot verschimmelt!"

Innerhalb eines begrenzten Systems - wie etwa unserer Erde - ist länger andauerndes exponentielles Wachstum offenkundig unmöglich. Für kurze Zeit ist es Bestandteil fast jeden natürlichen Wachstumsprozesses. Aber wenn es außer Kontrolle gerät und nicht durch eine negative Rückkopplung gebremst wird, dann ist es nahezu zwangsläufig zerstörerisch.

So sind denn auch die exponentiellen Prozesse, die einem als erste einfallen, eher unerfreulicher Art: Bakterien auf einem Nährmedium - Schimmel - Krebs - das Wachstum von Geldguthaben und Geldschulden - eine Atombombenexplosion. Was die zerstörerische Gewalt betrifft, hätte ich die letzten beiden Beispiele möglicherweise in ihrer Reihenfolge vertauschen müssen.

Als Wissenschaftler hat man also Teil an einem seit mindestens sechzig Jahren exponentiell wachsenden Prozess, und fragt sich: Wie kann das gut gehen? Und andererseits: Warum ist das überhaupt so? Warum kann das wissenschaftliche Wissen nicht linear wachsen? Oder logistisch einer Sättigung zustreben? Oder sonst etwas Harmloses tun?

Warum wächst die schriftlich fixierte Information exponentiell?

Als ich mich das zum ersten Mal fragte, habe ich die Analogie zum Geld gesucht. Das exponentielle Wachstum von Vermögen und Schulden - beide sind in einem Kreditgeldsystem zwei Seiten derselben Medaille und daher immer gleich groß - hat seine Ursache darin, dass der Zinssatz für Geld, wie wir es kennen, immer positiv sein muss, und das wiederum liegt daran, dass Geld, wie wir es kennen, nie verrottet und auch keine Lagerkosten hat, wie alle anderen Waren auf dem Markt. Könnte es sein, dass Ähnliches auch für das Wissen gilt?

Seitdem es die Schrift, und vor allem, seitdem es den Buchdruck gibt, wird es nicht mehr vergessen. Es verrottet also nicht mehr - trägt es daher vielleicht: Zinsen? Getreu dem schönen Goethewort, demnach Bibliotheken ein großes Kapital sind, das geräuschlos unberechenbare Zinsen spendet? Solange Wissen mündlich weitergegeben und im individuellen Gedächtnis gespeichert werden musste, bestand eine Leistung - auch für die Gesellschaft - bereits darin, nur das Erlernte zu behalten. Die keltischen Druiden, ebenso wie die Barden der alten Griechen, der Kurden oder der sibirischen Nomadenvölker konnten oft Zehntausende von Versen auswendig.

Mit der Möglichkeit, sie auf unbelebten Datenträgern zu fixieren, verlor dieses Können jeden Wert. Wer nun etwas gelten, etwas leisten will, muss Neues erschaffen. - Aber erklärt dieser Gedanke die exponentielle Form dieses Wachstums, und den auffälligen Umstand, dass sein Zinssatz ziemlich genau so groß ist wie der des Geldes?

Tatsächlich spielen natürlich auch wirtschaftliche Rahmenbedingungen eine Rolle. Seit 1980, dem Jahr, ab welchem der IWF präzise Zahlen rausrückt, korrelieren die Wachstumsraten von Weltwirtschaft und Publikationen nicht umwerfend gut (r^²=0,22), aber hoch signifikant (p=0,005) - was eigentlich erstaunlich ist, da Forschung ja meist in den Jahren vor ihrer Publikation finanziert wird. Je mehr die Wirtschaft wächst, desto mehr Geld ist anscheinend auch für die Wissenschaft da.

Doch auch das Vorhandensein von Geld ist nur eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung dafür, dass mehr wissenschaftliche Erkenntnisse gewonnen werden. Etwas anderes kann vielleicht besser erklären, warum unsere dokumentierte Kenntnis der Welt exponentiell wächst: Exponentialität findet man in der Natur nämlich noch an sehr vielen anderen Stellen, wo sie mitnichten zerstörerisch ist: in den Fraktalen. Fraktale sind mathematische Gleichungen, die selbstähnlich und an keinem Punkt differenzierbar sind. Das bekannteste Beispiel ist die Mandelbrotmenge, das sogenannte Apfelmännchen.

Ist Wissen fraktal?

Leichter zu erfassen ist die Kochkurve. Sie zeigt, wie durch eine sehr einfache Vorgehensregel eine komplexe, ästhetisch ansprechende Form entsteht. Und das Witzige dabei ist: Diese Kurve wächst mit jeder Iteration um 1/3, also um 33%, also: exponentiell. Im Grenzwert ist diese Kurve unendlich lang. Und dabei ist die Fläche unter ihr natürlich begrenzt und strebt einem rationalen Grenzwert zu.

Nun könnte man natürlich sagen: Nun ja, nette Spielerei für Mathematiker in ihrem Elfenbeinturm, auch ganz hübsch anzusehen, aber doch nur eine Abstraktion ohne Bedeutung für die Wirklichkeit. Doch wie Mandelbrot selbst 1967 in einem berühmten Artikel festgestellt hat, ist eher das Gegenteil der Fall: Endliche, differenzierbare Linien sind die Abstraktion. Kurven, die wir in der Natur vorfinden, sind meistens fraktal. Das bekannteste Beispiel ist ein Farnblatt. Aber auch Meeresküsten sind fraktal.

Die erwähnte Arbeit von Mandelbrot trägt den Titel: "How long is the coast of Britain?" Je genauer man hinsieht, also mit je feinerem Maßstab man misst, desto feinere Verästelungen der Küste verfolgt man. So wird die Küstenlinie immer länger. Mandelbrot greift auf die Vorarbeit eines Geografen zurück, der solche Messungen für eine Reihe von Küsten gemacht und gefunden hat, dass die gemessene Länge tatsächlich in einer festen Beziehung zum Maßstab steht und den Regeln der Fraktalität gehorcht.

Was also, wenn nicht nur Farnblätter und Küsten, sondern unser gesamtes Wissen von der Welt, das ja sozusagen die Umrisslinie der Phänomene ist - oder, eine Dimension höher, die Oberfläche des Wahrgenommenen -, wenn dieses also selbst fraktal wäre? Dann ließe sich das exponentielle Wachstum der Publikationen zwanglos aus der altbekannten Feststellung erklären, dass in der Wissenschaft aus jeder beantworteten Frage drei neue entstehen. Das läge dann einfach in der Natur der Sache: Je genauer man hinsieht, desto mehr Details sieht man, und ist trotzdem nie am Ende.

Und gleichzeitig wäre es auch beruhigend, denn es würde bedeuten, dass der Prozess getrost noch lange so weitergehen kann. Es wird nicht plötzlich - Plötzlich! - "Bumm!" machen, so wie Wirtschaftssysteme und Atombomben. Etwas problematischer wäre freilich die physische Verkörperung des Wissens, aber da ist es kein Zufall, dass sich das wissenschaftliche Publizieren seit einigen Jahren ins Internet verlagert hat, wo an Speicherplatz bis auf Weiteres kein Mangel herrscht. Das Hauptproblem an dieser Stelle ist eher, dass ein exponentielles Wachstum der Ausgaben für Wissenschaft und Forschung derzeit eher nicht wahrzunehmen ist.

Es gibt noch ein paar weitere Implikationen dieser Idee. Der Gedanke, dass ich mein berufliches Leben damit zubringe, die Küste von England in immer feineren Verästelungen zu beschreiben - bis in die Flussmündungen und Grotten, bis in die Lücken zwischen Felsbrocken, bis in die Zwischenräume der Sandkörner hinein -, dieser Gedanke kann ja auch etwas enttäuschend sein. Es bleibt ja doch dieselbe Küste. Das Land dahinter wird nicht größer, es ist immer dasselbe, und wir haben vielleicht Irland immer noch übersehen. Und ob wir durch unsere Detailforschung einen besseren Überblick über die Form der Küste gewonnen haben, darf man bezweifeln.

Dieser Anfechtung kann man vielleicht begegnen durch eine zentrale Eigenschaft von Fraktalen: ihre Selbstähnlichkeit. Das Apfelmännchen, die Kochkurve oder das Farnblatt zeichnet aus, dass sich gleiche Formen auf jeder Iterationsebene wiederholen. Vielleicht wäre es auch in den Wissenschaften ein lohnendes Unterfangen, von den Einzelergebnissen zurückzutreten, den Mustererkennungsmodus einzuschalten und zu schauen, ob wir nicht in den verschiedenen Wissenschaften, und auf den verschiedenen Betrachtungsebenen, wiederkehrende Muster finden.

Zum Teil geschieht das ja. Selbstorganisation finden wir in chemischen Reaktionen, in einfachsten Einzellern, in Gehirnen, in Gemeinschaften, in Märkten. Homöostase - die mit Selbstorganisation ja fast immer Hand in Hand geht - gibt es ebenso von Zellen über Neuronenverbände, Lebewesen, Sozialsysteme bis hinauf zu Volkswirtschaften und vielleicht sogar Gaia. Etwas aus der Mode gekommen ist heutzutage Oswald Spengler mit seiner Morphologie der Geschichte, aber auch dies ist ein Versuch, Abläufe aus der Welt des Lebendigen analog in der Kulturwelt, in der Geschichte wiederzufinden. Wenn das Wissen fraktal ist, dann liegt in solchem analogen Denken ein immenser Quell von wissenschaftlicher Kreativität und Erkenntnis.