Seite 3: Anwendungsfall 2: Quantum Random Walk

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Eine Markov-Kette führt eine bestimmte Anzahl an Zufallsexperimenten nacheinander aus und kommt so zu einem möglichen Endergebnis. Eine spezielle Form der Markov-Kette ist der Random Walk. Dieser Zufallsprozess kommt unter anderem am Finanzmarkt zur Simulation von Aktienkursen zum Einsatz. Das nachfolgende Diagramm zeigt 40 Random Walks einer (fiktiven) Aktie mit einem Eröffnungskurs p0=100 Euro über 200 Tage. Die Random Walks wurden mit einer vom Quantencomputer erzeugten Bernoulli-Verteilung generiert (Der Code findet sich im bereits erwähnten Jupyter Notebook auf GitHub).

Das Chart in Abbildung 2 zeigt den möglichen Verlauf des Aktienkurses über 200 Tage ausgehend vom Eröffnungskurs. Die Simulation basiert auf einem Quantum Sample. Der Code zum Erzeugen der Markov-Ketten läuft im Notebook auf einem klassischen Rechner. Soll ein Quantencomputer die Markov-Kette ausführen, lässt sich das mit einem komplizierteren Quantenschaltkreis realisieren.

Der Algorithmus zur Simulation der Aktie funktioniert im Beispiel wie folgt:

1. Ein Random Walk beginnt mit einem Eröffnungskurs von p0=100
2. Pro Random Walk werden nacheinander 200 Zufallszahlen gezogen
3. Wenn der Wert 1 für einen simulierten Tag auftritt, steigt der Kurs um 1 Prozent
4. Anderenfalls sinkt der Kurs um 1 Prozent

Auf diese Weise entstehen alternative Pfade des Aktienkurses. Die täglichen Schwankungen für die Simulation lassen sich in der Praxis schätzen oder aus Vergangenheitsdaten ermitteln. Das nachfolgende Diagramm (Abb. 3) zeigt die Verteilung der Schlusskurse p_n nach 40 Läufen mit den obigen Parametern (da es sich um einen Zufallsprozess handelt, variiert die Darstellung):

Investoren nutzen Random Walks in der Praxis, um anhand möglicher Schwankungen das Risiko eines Finanzinstruments über einen bestimmten Zeitraum zu schätzen. Zudem bildet die Varianz eine Grundlage zur Bepreisung von Derivaten wie Optionen. Insbesondere bei der Simulation sehr vieler Wertpapiere kann ein Quantencomputer Geschwindigkeitsvorteile bieten. Positiv schlägt sich darüber hinaus nieder, dass es sich bei den Samples um echte Zufallszahlen handelt, die nicht das Ergebnis eines deterministischen Algorithmus sind. Das Beispiel beschränkt sich auf einen simplen, symmetrischen Random Walk. Qiskit bietet im Rahmen seiner Finanzmarktbibliothek fortgeschrittenere Algorithmen.