Mathematik für Börse und Pokertisch - 75 Jahre Kolmogorow-Axiome

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung entstand in der Mitte des 17. Jahrhunderts, "als der dekadente französische Adel sich in wildem Wettkampf an Spieltischen zu ruinieren trachtete", wie der Wissenschaftsautor Lancelot Hogben angewidert schrieb. Im 21. Jahrhundert wurde sie aber durch Millionen-Jackpots im Lottoshop und Texas Hold’em im Internet zum wahrscheinlich populärsten Zweig der Mathematik.

Auf ein lupenreines logisches Fundament musste der Kalkül nach seinen barocken Anfängen eine Zeit lang warten. Erst heute vor 75 Jahren, an den Ostertagen von 1933, beendete Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow in der Nähe von Moskau einen Text – der Termin orientiert sich am Datum des Vorworts – mit einem Axiomensystem, das einerseits kurz und übersichtlich und andererseits so produktiv war, dass es die moderne Ära der Stochastik einläutete. Die 62 Seiten starken "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung" erschienen dann in Berlin, wohlgemerkt auf Deutsch, das damals neben dem Französischen als Weltsprache der Mathematik diente. Die russische Fassung folgte 1936, die englische 1950.

Der 1903 in Tambow geborene Kolmogorow hatte schon als junger Student durch Fachartikel Aufsehen erregt. 1931 wurde er Professor, 1933 Direktor des mathematischen Instituts der Moskauer Universität und 1939 Mitglied der Akademie der Wissenschaften. Nach dem 2. Weltkrieg war er der international bekannteste sowjetische Mathematiker. Er widmete sich einer Vielzahl von Themen, auch der theoretischen Informatik und der Physik, und zahllos sind seine Verdienste um die Mathematikausbildung in Russland. Mit Orden und Ehrungen überhäuft starb er 1987 in Moskau.

In seinen "Grundbegriffen" ging Kolmogorow nicht von der Kombinatorik aus, die dem Normalbürger als Basis der Wahrscheinlichkeitsrechnung erscheint und zu der klassischen Definition führte, dass eine Wahrscheinlichkeit aus der Division der Zahl der günstigen durch die der möglichen Fälle folgt. Stattdessen wählte er den Weg über die Maßtheorie, die den Umgang mit Längen, Flächen und Volumina verallgemeinert und gelegentlich seltsame Resultaten ermöglicht.

Kolmogorow ordnete in seinem Axiomensystem jedem Ereignis eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zu, seine Wahrscheinlichkeit. Ein Ereignis ist hier kein einzelnes Geschehen, sondern eine Menge, die aus sogenannten Elementarereignissen besteht, etwa aus den ungeraden Würfelresultaten {1, 3, 5}. Der Gesamtmenge der elementaren Ereignisse, in unserem Beispiel den Würfen {1, 2, 3, 4, 5, 6}, wird die 1 zugewiesen. Der Vereinigung zweier Ereignisse A U B, die keine gemeinsamen Elemente haben, ordnet man die Summe der Wahrscheinlichkeiten von A und B zu.

Das letzte Axiom behandelt den Fall von unendlich vielen Ereignissen. Hat man eine nicht abbrechende Folge A1, A2, A3, ... von ihnen, dann ist die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung A1 U A2 U A3 U ... gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten von A1, A2, A3, ... Dabei gilt wiederum, dass zwei beliebige Ereignisse Am und An aus der Folge keine gemeinsamen Elemente aufweisen, oder wie es auf Mathematisch heißt, sie müssen disjunkt sein. (Kolmogorow benutzte 1933 noch ein anderes Unendlichkeitsaxiom, doch setzte sich die obige Fassung weitgehend durch.)

Aus diesen relativ simplen Grundsätzen lässt sich jetzt die komplette Theorie der Wahrscheinlichkeit entwickeln, wobei die Frage, was diese eigentlich ist, offen bleibt. Im Mittelpunkt steht nicht die Philosophie, sondern die hieb- und stichfeste logische Ableitung. Wenn man so will, beschreibt die Kolmogorow-Wahrscheinlichkeit den Grad oder die Intensität, mit dem ein Geschehen in der Welt "vorliegt". Bevor die Roulettekugel zur Zahl 13 rollt, ist der Event mit dem Maß 1/37 oder 0,027027027... präsent, sobald sie klickklack drinliegt, natürlich mit Maß 1.

Als die "Grundbegriffe" im schicksalhaften Jahr 1933 herauskamen, festigten gerade die Nationalsozialisten ihre Macht und richteten die Universitäten in ihrem Sinne aus. Jüdische und demokratische Dozenten wurden entlassen, und viele exzellente Mathematiker emigrierten ins Ausland, meist in die USA. Darunter litt besonders die Forschung in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Statistik, die unter den Nazis fast vollständig zum Erliegen kam (PDF-Datei).

In Deutschland bewirkte Kolmogorows Buch zunächst nur wenig, allerdings schrieb der von der Uni Kiel verjagte kroatische Stochastiker Vilim Feller für das Rezensionsorgan "Zentralblatt der Mathematik" eine enthusiastischer Besprechung. In Paris fertigte der geniale Wolfgang Döblin, Sohn des emigrierten Autors Alfred Döblin, eine handschriftliche Übersetzung für seine französischen Mathematikerfreunde an. In den USA verbreitete nach Kriegsende vor allem Joseph Doob Kolmogorows Thesen, was dann den weltweiten Erfolg garantierte.

Im Jahr 2008 ist die Theorie der Wahrscheinlichkeiten nicht nur der volkstümlichste, sondern auch der ertragreichste Zweig der Rechenkunst, denn auf ihr basiert die moderne Finanzmathematik. Für das Verständnis von Börsenkursen sind besonders die stetigen Prozesse wichtig, bei denen die Änderungen einer Größe durch reelle Zahlen beschrieben wird. Wer hier die richtige Formel findet, gewinnt sogar den Nobelpreis, und das ist fast so schön wie ein Royal Flush bei Texas Hold’em. (Ralf Bülow) / (pmz)