Zahlen, bitte! Zauberwürfel: Gottes Zahl ist 20
Der Rubik's Cube – hierzulande als Zauberwürfel bekannt – eroberte 1980 die Welt. Lösungen waren schnell gefunden, aber eine Frage erforderte 30 Jahre beharrlicher Forschung: Wie viele Züge würde ein allwissender Gott höchstens für die Lösung brauchen?
Der Zauberwürfel fasziniert "Kinder zwischen 7 und 70", Mathematiker und mathematische Laien gleichermaßen, jeden auf seine Weise. Zunächst kam er 1977 in Budapest in die Spielzeugläden, bevor er 1980 einen weltweiten Hype auslöste. Sogar der Spiegel berichtete darüber und veröffentlichte in seiner Ausgabe 4/81 eine Lösung.
Man kann auf unterschiedlichste Weise Spaß mit dem Zauberwürfel haben. Manch einer ist schon zufrieden, wenn er eine Seite schafft, mancher, wenn er ein Lösungsschema gelernt hat und ihn damit lösen kann. Tony Fisher aus Ipswitch (UK) hat den größten Zauberwürfel laut Guinness-Buch und wehrte sich kürzlich mit einem YouTube-Video gegen Fake-News: Die Uni Michigan hatte nämlich ihrerseits behauptet, den größten zu haben, und musste das dann relativieren. Nun ist jener eben der größte frei stehende, fest installierte und von Hand lösbare Rubik's Cube, designt und gebaut von Studenten.
Speedcubing für Praktiker ...
Von Anfang an wetteiferten die Leute um die schnellste Lösung: Das Speedcubing ist eine eigene sportliche Disziplin und seit 2004 gibt es die World Cube Association, die weltweit offizielle Wettbewerbe veranstaltet. Den Weltrekord für die beste Einzelleistung hält mit 4,73 Sekunden der Australier Feliks Zemdegs aus Melbourne.
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Gegen Roboter hätte allerdings selbst Zemdegs keine Chance, denn Roboter lösen den Rubik's Cube in gut einer Sekunde.
... und für Theoretiker
Während die Praktiker ihre Verfahren verfeinert haben, um den Würfel mit möglichst wenig Drehungen zu lösen, und ihre Finger trainiert haben, um diese schnellstmöglich auszuführen, interessierten sich die Theoretiker für die optimalen Lösungen. Wenn man allwissend wie ein Gott wäre und für jede Stellung die minimale Zahl der Drehungen zur Lösung kennen würde, wie groß wäre die dann höchstens? Das ist Gottes Zahl, und seit 2010 weiß man, dass sie 20 lautet.
Dazu muss man zunächst anmerken, was als eine Drehung zählt, denn da gibt es zwei Lager: Die (US-)Westküste bevorzugt die Half Turn Metric – eine 180°-Drehung einer Fläche zählt als ein Zug – und die Ostküste die Quarter Turn Metric – 90° sind ein Zug, 180° zwei Züge. Da Tomas Rokicki, eine der treibenden Kräfte bei der Erforschung von Gottes Zahl, aus Palo Alto in Kalifornien stammt, erforschten er und seine Partner zunächst die Half Turn Metric. Vier weitere Jahre sollte es dauern, bis die Frage im August 2014 auch für die Quarter Turn Metric gelöst war: Hier lautet Gottes Zahl 26.
Größenordnungen
Früh war bekannt, dass Gottes Zahl mindestens 18 und höchstens 52 beträgt, und diese obere und untere Schranke wurden über die Jahre immer weiter verfeinert. Eine Untergrenze zu finden bedeutet, eine Stellung vorzuweisen, die nachweislich nicht mit weniger Drehungen lösbar ist. Eine Obergrenze erhält man, wenn man einen Algorithmus angeben kann, der mit einer garantierten Maximalzahl von Drehungen zu jeder Ausgangsposition eine Lösung findet.
(Bild: By User Curis on en.wikipedia [CC BY 2.5], via Wikimedia Commons )
Doch wie viele Ausgangspositionen gibt es eigentlich? Das lässt sich tatsächlich vergleichsweise einfach ausrechnen. Wenn man den Würfel zerlegt, erhält man das Mittelkreuz mit 6 Flächen und 20 Teilwürfel, davon sind 8 Ecken mit drei Farbflächen und 12 Kanten mit zwei Farbflächen. Auf wie viele Arten kann man diese nun zusammenbauen?
Für die Ecken gibt es 8! mögliche Permutationen, für die Kanten 12!. Jede Kante kann gekippt sein oder nicht, macht einen Faktor von 212. Jede Ecke kann auf drei verschiedene Arten gedreht sein, das ergibt einen weiteren Faktor von 38.
