Zahlen, bitte! Komplexe Zahlen – ein Marketing-Desaster in der Mathematik
Wenn eine Werbeagentur neue Zahlen vermarkten sollte, die viel mehr Probleme lösen als die bisherigen, würde sie wohl kaum abschreckende Wörter wie "komplex" oder "imaginär" verwenden ... aber im 17. Jahrhundert fehlten die Werbetexter.
Es hat ein paar hundert Jahre gedauert, bis die komplexen Zahlen ihr Mysterium verloren und man sie so richtig zu fassen bekam. Heute machen sie Mathematikern, Physikern, Elektrotechnikern und vielen mehr das Leben leichter, aber sie leiden unter schlechtem Marketing: Seit Generationen schrecken die Begriffe "komplexe" und "imaginäre" Zahlen Schüler und Studenten ab. Ach könnte man sie doch nur umbenennen, um sie besser zu vermarkten und auszudrücken, wie viel einfacher sie das Leben machen (können)!
Kurzer Crashkurs: Bekanntlich kann man aus jeder positiven Zahl die Quadratwurzel ziehen. Wenn man diese quadriert, also mit sich selbst multipliziert, erhält man die ursprüngliche Zahl. Die Quadratwurzel aus 9 ist zum Beispiel 3, die Quadratwurzel aus 2 eine "krumme" (irrationale) Zahl, der Taschenrechner sagt 1,41421356 ...
i – die imaginäre Einheit
Die "imaginäre Einheit" i ist nun einfach die Quadratwurzel aus –1. Aber man kann doch nicht einfach ... !!! Einfach so kann man natürlich nicht, deshalb hat es ja auch ein Weilchen gedauert und die Mathematiker haben lange mit dem Begriff der "imaginären" Zahlen herumgeeiert, bis sie eine formale Definition gefunden haben. In den reellen Zahlen gibt es nämlich keine Wurzel aus –1, weil das Quadrat einer jeden Zahl positiv ist. Also muss man irgendwie die "imaginäre" Zahl i den reellen Zahlen hinzufügen, und mit ihr alle Zahlen, die man sonst noch braucht, um vernünftig rechnen zu können. Das Ergebnis sind die komplexen Zahlen.
Zahlenebene
Wenn man sie erst einmal kennt, sind sie gar nicht so kompliziert. Statt einer Zahlengeraden kann man sich eine Zahlenebene vorstellen: Darin ist die bekannte reelle Zahlengerade die x-Achse und die y-Achse gibt den "Imaginärteil" einer Zahl an; die Einheit ist i. Jede komplexe Zahl hat die Form a + b i mit zwei reellen Zahlen a und b; die Addition kann man sich in der Zahlenebene als Vektoraddition vorstellen. Bei der Multiplikation (a + b i) · (c + d i) muss man nur darauf achten, dass i2 = –1 ist.
Lösungen garantiert
Mit komplexen Zahlen wird vieles leichter. Bei quadratischen Gleichungen (a x2 + b x + c = 0) muss man im Reellen Fallunterscheidungen machen: Sie haben zwei Lösungen, eine oder auch keine. Im Komplexen gibt es immer Lösungen, und zwar sogar für beliebige Polynome n-ten Grades, also die Gleichung
an xn + an-1 xn-1 + … + a1 x + a0 = 0
In der reellen Analysis finden sich pathologische Beispiele von Funktionen, die an einer Stelle zwar einmal, aber kein zweites Mal differenzierbar sind. Die komplexe Ableitung ist da konsistenter: Einmal differenzierbar heißt automatisch unendlich oft differenzierbar.
Und es besteht ein tiefer Zusammenhang zwischen den komplexen Zahlen und den trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus, auf den Punkt gebracht in der eulerschen Formel
eix = cos x + i sin x,
deren Spezialfall
e2πi = 1
in wunderschöner Weise fundamentale Zahlen der Mathematik verbindet. Wer die eulersche Formel beherrscht, kann zum Beispiel die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus vergessen und bei Bedarf durch einen Blick ins Komplexe flugs wieder herleiten.
Das waren nur ein paar Schlaglichter auf die Schönheit und, wenn man so will, Einfachheit der komplexen Zahlen, wie man sie heute zu schätzen weiß. Doch der Weg dorthin war steinig.
Negatives unerwünscht
Interessanterweise finden sich die ersten Spuren komplexer Zahlen in einer Zeit, als sogar die negativen Zahlen den Mathematikern noch suspekt waren. Im 16. Jahrhundert interessierte man sich für reale, greifbare Lösungen für reale Probleme. Das hieß, dass in den Problemen nur positive Zahlen vorkamen und als Lösungen ebenfalls nur positive Zahlen erwünscht waren – welcher Baum ist schon –2 Meter hoch?
Dass quadratische Gleichungen manchmal keine Lösung hatten, war bekannt und störte damals wenig. Kubische Gleichungen haben aber – wie wir heute mittels komplexer Zahlen leicht sehen können – immer eine reelle Lösung, und Verfahren, sie zu finden, waren gefragt.
Der italienische Mathematiker Gerolamo Cardano veöffentlichte 1545 in seinem Buch Ars Magna eine Lösungsmethode für kubische Gleichungen und er war der erste, der systematisch mit negativen Zahlen arbeitete. In den heute nach ihm benannten Cardanischen Formeln konnte es nun passieren, dass Quadratwurzeln aus negativen Zahlen auftraten. Diesen casus irreducibilis kehrte er ein wenig unter den Teppich und erst gegen Ende des 16. Jahrhunderts zeigte Rafael Bombelli, wie man trotz dieses Umstandes zu einer positiven reellen Lösung gelangen konnte.
Das Undenkbare als Rechentrick
Für die Gleichung x3 = 15x + 4 lieferten die cardanischen Formeln
Durch algebraische Manipulationen zeigte Bombelli, dass sich dies vereinfachen ließ zu (in heutiger Schreibweise) x = (2+i) + (2–i), woraufhin das i herausfiel und die korrekte Lösung 4 übrig blieb.
An die "Existenz" komplexer Zahlen glaubte man damals aber immer noch nicht recht; auf keinen Fall waren sie als Lösungen von Gleichungen akzeptabel. Aber als Zwischenergebnisse für Rechentricks, bei denen sie am Ende wieder verschwanden, haben sie sich bewährt.
Nur einige wenige Stationen im weiteren Verlauf der bewegten Geschichte der komplexen Zahlen seien noch hervorgehoben. René Descartes (1596 – 1650) hat den Begriff der imaginären Zahl geprägt, Leonhard Euler (1707 – 1783) führte die heute übliche Bezeichnung i für die Quadratwurzel aus –1 ein. Er definierte die komplexe Exponentiation und bewies die obige, nach ihm benannte Formel, hatte aber auch noch keine wirklich befriedigende Grundlage für die komplexen Zahlen.
Die Geburt der komplexen Zahlen
(Bild: Deutsches Textarchiv (Hervorhebung heise online, CC BY-NC 3.0) )
Die kam erst nach und nach und wurde anscheinend von verschiedenen Mathematikern gleichzeitig gefestigt. Der Norweger Caspar Wessel definierte sie 1797 in einer wenig beachteten Arbeit Essai sur la représentation analytique de la direction geometrisch mithilfe von Vektoraddition, wobei er auch für die Multiplikation das heute bekannte Verfahren für die Addition der Winkel und die Multiplikation der Längen fand.
William Rowan Hamilton (1805 – 65) gab 1831 eine rein algebraische Konstruktion an, indem er die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen auffasste und auf diesen die bekannten Rechenoperationen definierte – und diese Idee später weiterdachte zu den Quaternionen, die aus vier reellen Zahlen bestehen.
Ebenfalls 1831 kündigte Carl Friedrich Gauß in den Göttingschen gelehrten Anzeigen, seine "Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda" an, in der er die komplexen Zahlen entmystifizierte. In dieser Ankündigung schrieb er (in heutiger Orthografie):
"Hat man diesen Gegenstand bisher aus einem falschen Gesichtspunkt betrachtet und eine geheimnisvolle Dunkelheit dabei gefunden, so ist dies großenteils den wenig schicklichen Benennungen zuzuschreiben. Hätte man +1, –1, √–1 nicht positive, negative, imaginäre (oder gar unmögliche) Einheit, sondern etwa direkte, inverse, laterale Einheit genannt, so hätte von einer solchen Dunkelheit kaum die Rede sein können."
Schon Gauß beklagte also vor fast 200 Jahren das schlechte Marketing für die komplexen Zahlen in Form unglücklicher Bezeichnungen – die sich nun aber leider nicht mehr ändern lassen. (bo)
