Zahlen, bitte! Mit Lötkolben oder falschem Bruchrechnen zu Aleph Null
Wie viele Brüche gibt es eigentlich? Unendlich viele, aber Mathematiker haben genau nachgezählt: Es sind Aleph Null. Eine weniger bekannte Zählmethode benötigt eine große Tüte 1-Ohm-Widerstände, eine andere sieht wie ein Rechenfehler aus.
Mit unendlichen Mengen ist das so eine Sache. Man könnte intuitiv meinen, es gäbe halb so viele gerade Zahlen wie natürliche Zahlen insgesamt, weil ja jede zweite natürliche Zahl ungerade ist. Schreibt man aber alle natürlichen und alle geraden Zahlen paarweise auf, 1–2, 2–4, 3–6, 4–8 ..., dann sieht man, dass es gleich viele sind, denn zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau eine gerade Zahl 2n und umgekert. So definieren Mathematiker zwei Mengen als gleich groß: Wenn es zwischen den beiden eine eineindeutige Abbildung gibt, die jedem Element der einen Menge genau eines der anderen zuordnet und umgekehrt. Bei unendlichen Mengen spricht man von ihrer Mächtigkeit statt von einer Anzahl von Elementen, und die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen heißt
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Wie sieht es nun mit den (positiven) Brüchen p/q aus? Das sind ja intuitiv viel mehr als die natürlichen Zahlen: unendlich viele Zähler kombiniert mit unendlich vielen Nennern, "unendlich mal unendlich". Und trotzdem sind es gleich viele, denn man kann sie "abzählen", also jeder natürlichen Zahl einen Bruch zuordnen und umgekehrt. Das hat der deutsche Mathematiker Georg Cantor im 19. Jahrhundert mit seinem Diagonalverfahren gezeigt, und dieses dürfte Standard-Lehrstoff jedes Mathe- oder Informatik-Grundstudiums sein.
Weniger bekannt und gleichzeitig raffinierter ist die "Elektrotechniker-Methode", seriöser Calkin-Wilf-Baum genannt. Wenn man zwei Widerstände in Reihe schaltet, addieren sich die Werte (RReihe = R1 + R2). Mit einer unendlich großen Tüte 1-Ohm-Widerstände kann man also jeden ganzzahligen (in Ohm) Widerstand durch einfaches Hintereinanderschalten zusammenlöten. Ist auch Parallelschaltung erlaubt, dann lässt sich sogar jede positive rationale Zahl, jeder Bruch erreichen.
Basteln mit Widerständen
Und das geht so: Bei Parallelschaltung zweier Widerstände ergibt sich der Gesamtwiderstand als Kehrwert aus der Summe der Kehrwerte: RParallel = 1 / (1/R1 + 1/R2). Darf man immer nur einen 1-Ohm-Widerstand aus der Tüte nehmen und zum bestehenden Widerstandsnetzwerk parallel schalten, dann ist R2=1; aus einem Widerstand R1 = p/q mit natürlichen Zahlen p und q wird somit R1-Ohm-Parallel = p/(p+q), was immer kleiner als 1 ist. Die Reihenschaltung eines 1-Ohm-Widerstands zu R1 = p/q kann man ebenfalls als Bruch schreiben, R1-Ohm-Reihe = (p+q)/q, und der Wert ist immer größer als 1.
Ausgehend von der Eins (=1/1) ergeben diese beiden Operationen eine Konstruktionsvorschrift für einen unendlichen binären Baum (Informatiker-typisch mit Wurzel oben): Links unter p/q schreibt man p/(p+q) rechts darunter (p+q)/q.
Dieser Baum enthält alle positiven Brüche, denn von jedem Bruch aus lässt sich zweifelsfrei der Rückweg im Baum nach oben zur Eins ermitteln: Ist ein Bruch p/q kleiner als Eins (also q>p), dann ist er der linke Nachfolger von p/(q-p), ist er größer als Eins (p>q), der rechte Nachfolger von (p-q)/q. Irgendwann landet man zwangsläufig bei der Eins und hat dadurch eine Bauanleitung für den gewünschten Bruch aus 1-Ohm-Widerständen gewonnen, indem man den Pfad in der umgekehrten Richtung von oben nach unten verfolgt. Links entlang = Parallelschaltung eines weiteren 1-Ohm-Widerstands, rechts entlang = Reihenschaltung.
Und nun braucht man die Brüche in diesem Baum einfach nur zeilenweise abzulesen und durchzunummerieren, um nachzuweisen, dass es genauso viele wie die natürlichen Zahlen sind: 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/2, 2/3, 3/1, 1/4, 4/3, 3/5, 5/2, 2/5, 5/3, 3/4, 4/1 ...
Besonders faszinierend an dieser Aufzählung aller Brüche ist, dass es eine Formel gibt, um direkt von einem Bruch zum nächsten zu gelangen. Sie lautet
Nachfolger(x) = 1 / (1 – x + 2*floor(x) )
wobei mit floor(x) das Abrunden von x zur nächsten ganzen Zahl gemeint ist. Die Herleitung findet sich in obigem Video. Ausgehend von der Eins erreicht man mit dieser Rechenvorschrift alle positiven Brüche, genauso wie man ausgehend von der Eins mit der Rechenvorschrift "+1" alle natürlichen Zahlen erreicht. Achtung: Nachfolger bedeutet hier die nächste Zahl im Calkin-Wilf-Baum und nicht etwa den nächst größeren Bruch – den gibt es nämlich nicht, denn zwischen zwei Brüche passt immer noch ein weiterer.
Es gibt noch eine andere Art, die Brüche in einer Art Baumstruktur aufzuzählen. Entdeckt wurde sie unabhängig voneinander vom deutschen Mathematiker Moritz Stern 1858 und vom französischen Uhrmacher Achille Brocot 1860. Und wie frustrierte Mathe-Lehrer bestätigen können, wird die Grundkonstruktion Jahr für Jahr von Scharen von Schülern wiederentdeckt, wenn sie versuchen, zwei Brüche zu addieren.
Falsches Bruchrechnen
Die Summe zweier Brüche a/b und c/d ist bekanntlich nicht (a+c)/(b+d). Aber diese Pseudo-Summe, der sogenannte Mediant, hat eine interessante Eigenschaft: Sie liegt immer zwischen a/b und c/d. Das lässt sich nun ausnutzen, um die positiven Brüche auf eine weitere Art anzuordnen und aufzuzählen.
Wir beginnen mit dem Intervall von null bis unendlich, geschrieben als 0/1 und 1/0. Dieses teilen wir nun durch Einfügen des Medianten 1/1 in zwei Intervalle. In jedes dieser beiden fügen wir nun wieder den Medianten ein:
0/1 < 1/2 < 1/1 < 2/1 < 1/0
Jedes dieser vier Intervalle wird nun wiederum durch einen Medienaten unterteilt:
0/1 < 1/3 < 1/2 < 2/3 < 1/1 < 3/2 < 2/1 < 3/1 < 1/0
Im nächsten Schritt werden acht Zahlen eingefügt und so weiter. Schreibt man nun die jeweils neu eingefügten Zahlen in einer Reihe auf, so ergibt sich die Zahlenfolge 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/3, 3/2, 3/1, 1/4, 2/5, 3/5, 3/4, 4/3, ...
Diese Zahlenfolge enthält alle positiven Brüche, alle gekürzt und jeden genau einmal (Beweise dieser Tatsachen in obigem Video). Sie ist also eine weitere Aufzählung der Brüche, die beweist, dass es genauso viele wie natürliche Zahlen sind.
Nicht umsonst wurde diese Intervallschachtelung aller rationalen Zahlen von einem Uhrmacher entdeckt. Sie beantwortet nämlich eine – für Uhrmacher – ganz praktische Fragestellung: Gegeben ist eine beliebige reelle Zahl. Was ist die beste Näherung als Bruch p/q, wenn p und q unterhalb vorgegebener Grenzen bleiben müssen? Übersetzt in Zahnräder heißt das: Wenn ich nur Zahnräder mit einer gegebenen Maximalzahl von Zähnen verwenden kann, welche Kombination zweier Zahnräder liegt dann am nächsten an einer gewünschten Übersetzung?
Wege zur Unendlichkeit
Neben dem klassischen Cantor'schen Diagonalverfahren gibt es also mindestens zwei weitere Wege von den rationalen Zahlen zu
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