Seite 2: Archimedische Körper: Völlig abgestumpft

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Und wo kommt Archimedes ins Spiel? Auch er befasste sich mit Symmetrien von Polyedern und erzeugte durch Beschneiden (Abstumpfen) der platonischen Körper eine neue Klasse von Polyedern, deren Flächen aus unterschiedlichen, gleichseitigen Flächentypen (Dreiecke, Quadrate, Fünfecke, Sechsecke, Achtecke) bestehen.

Stumpft man etwa einen Würfel ab, indem man senkrecht zu den Raumdiagonalen gleichmäßig Teile abträgt, entstehen auf dem Weg zum Oktaeder als Zwischenstufen der Hexaederstumpf, das Kuboktaeder und der Oktaederstumpf. So entstehen insgesamt 13 neue Polyeder, die als archimedische Körper bezeichnet werden:

Der bekannteste archimedische Körper dürfte der Ikosaederstumpf sein, den wohl jeder schon mal durch die Gegend gekickt hat. Er dient seit Jahrzehnten als Schnittmuster für Bälle und wird darum häufig als "Fußballkörper" bezeichnet.

Auch auf archimedische Körper trifft man in der Natur: Beim hochsymmetrischen Hohlmolekül C₆₀ aus der Gruppe der Buckminster-Fullerene handelt es sich ebenfalls um einen Ikosaederstumpf, was ihm den Beinamen "Buckyball" eingebracht hat. Solche Buckyballs lassen sich nicht nur künstlich erzeugen, sie schwirren nachweislich auch in planetaren Nebeln herum.

13, 14 oder 15 archimedische Körper?

Nun könnte man darüber streiten, ob es tatsächlich nur 13 archimedische Körper gibt. Denn vom abgeschrägten Hexaeder existieren spiegelbildlich entgegengesetzte Varianten. Typischerweise werden die Varianten jedoch nicht doppelt gezählt.

Darüber hinaus stellte der Mathematiker J. C. P. Miller im Jahr 1930 fest, dass man durch Verdrehen einer Hälfte des Rhombenkuboktaeders um 45° ein weiteres Polyeder erhält – das Pseudo-Rhombenkuboktaeder –, welches (fast) alle Eigenschaften der archimedischen Körper hat. Es besitzt jedoch zwei unterschiedliche Typen von Ecken, sodass zwar lokale, aber keine globale Eckenkongruenz besteht. Streng genommen ist es somit kein archimedischer Körper, wird aber mitunter als solcher klassifiziert. Es gibt Spekulationen, dass schon Kepler das Pseudo-Rhombenkuboktaeder kannte, da er in seinen Schriften mitunter von 14 archimedischen Körpern sprach.

Logischerweise (weil Mathematiker einfach so sind) kann man es übrigens noch einen Schritt weitertreiben: Catalanische Körper sind zu archimedischen Körpern dual, lassen sich also aus ihnen erzeugen, bestehen hingegen aus kongruenten, aber nichtregelmäßigen Vielecken. (vza)