Bauteiloptimierung mit dem Geodreieck

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Es passiert nicht oft, das jemand seinen Kunden ausdrücklich davon abrät, sein Produkt zu kaufen und ihnen statt dessen die weiterentwickelte und vereinfachte Methode ans Herz legt – die nicht nur nichts kostet, sondern die sie obendrein selbst mit einfachsten Mitteln anwenden können. Genau dies macht aber Professor Claus Mattheck vom Forschungszentrum Karlsruhe (FZK). 15 Jahre lang entwickelte er nach dem Vorbild von Konstruktionsprinzipien der Natur komplexe Computermethoden zur Formoptimierung von Bauteilen und verkaufte die Software im Wert von mehreren tausend Euro pro Lizenz. Autoproduzenten wie Opel und Daimler Chrysler optimieren ihre mechanischen Bauteile seit Jahren mit Hilfe dieser Computerprogramme.

Vor drei Jahren hatte Mattheck, der die Abteilung Biomechanik am Institut für Materialforschung II am FZK leitet, die Formoptimierung schon einmal stark vereinfacht, so dass sie statt einem Computer nur noch einen Taschenrechner benötigte. Mit der neuesten Weiterentwicklung lässt sich die Optimierung noch einfacher und schneller bewerkstelligen – denn es reicht sogar ein Geodreieck.

Die neue graphische Methode nutzt dieselben Leichtbau-Konstruktionsprinzipien, mit denen auch die Natur Schäden vorbeugt, und auf denen schon seine Software fußte (siehe Technology Review 12/05). Neben seiner Arbeit am FZK ist Mattheck Sachverständiger für Ermüdungsbrüche mechanischer Bauteile sowie für die Mechanik und Bruchverhalten der Bäume. Schadenskunde und Schadensprävention sind also sein Metier – und die Natur sein Vorbild. So sind denn auch seine Optimierungsmethoden klassische Beispiele für Bionik – dem Brückenschlag von der Natur zur Technik, der helfen soll, durch die Übertragung von Grundideen neue technische Lösungen zu entwickeln.

Eine dieser Bauregeln lautet, dass höchstmögliche Stabilität bei gleichzeitiger Materialsparsamkeit erreicht werden soll – also so viel Material wie nötig, aber so wenig wie möglich. Eine weitere Regel besagt, dass überall die gleiche Spannung herrschen muss. Deshalb sind drittens Spannungsspitzen zu vermeiden oder zu korrigieren, die durch ungünstige Kerbkonturen und scharfe Kanten verursacht werden. Kerben und Kanten sind potenzielle Schwachstellen, wenn sie nicht auf die auftretenden Zug- und Druckbelastungen optimiert sind, weil sie durch überlagerte Biegespannungen (in diesem Fall auch Kerbspannungen genannt) verformt werden können. Je schärfer die Ecken, desto höher die auftretenden Kerbspannungen und desto eher entstehen Risse – die Vorboten des Materialversagens. Wie sich das vermeiden lässt, machen Bäume und Knochen vor.

Bäume lagern an stark belasteten Stellen Material an, um zu hohe Kerbspannungen abzubauen, zum Beispiel am Übergang vom Stamm zur Wurzel auf der Windseite, wo die größten Zugkräfte durch das Biegen im Wind entstehen. Umgekehrt lässt sich überall dort Material einsparen, wo die Belastung zu niedrig ist. Bäumen können das nicht, wohl aber spezielle Fresszellen bei Tier und Mensch, die Knochensubstanz abbauen, wenn man zum Beispiel bettlägerig ist und die Knochen nicht mehr durch Bewegung beansprucht werden. Sowohl Bäume als Knochen finden durch ihre Wachstumsregeln die optimale Kerbform.

Diese Regeln sind nun auch ohne spezialisiertes Ingenieurs-Know-how in wenigen Minuten auf die Optimierung von Kerbkonturen anwendbar (siehe Bilderstrecke): „Dazu muss man als Konstrukteur einfach in Zugdreiecken und Seilen denken“, erklärt Mattheck. Zur Entschärfung von zu hohen Kerbspannungen überbrückt er scharfeckige Kerben, zum Beispiel einen 90-Grad-Winkel einer T-förmigen Wellenschulter, zunächst im ersten Schritt symmetrisch mit Hilfe eines gedachten Seils. So entsteht ein so genanntes Zugdreieck, das mit den Bauteilwänden 45-Grad-Winkel bildet. Das funktioniert so ähnlich wie Bäume auf ihrer dem Wind zugewandten Seite Wurzelanläufe anbauen, um die scharfeckigen Kerben zwischen Stamm und Erdoberfläche zu entschärfen. Wurzelanläufe sind dreieckförmige Verstärkungen, die schräg vom Stamm zu den Wurzeln verlaufen und die Zugspannungen vermindern, die durch die windbedingte Biegebelastung auftreten.

Bei der graphischen Bauteiloptimierung entsteht nach dem ersten Schritt am oberen Ende des Dreiecks zwar eine neue Kerbe, doch diese ist schon bedeutend stumpfer und weniger reißgefährdet als ihr Vorgänger. Sie wird ebenfalls überbrückt, indem man von der Mitte des ersten Zugdreiecks ausgehend ein neues gleichschenkliges Zugdreieck nach oben eingezeichnet – und so weiter. So entsteht meist schon nach drei Zugdreiecken eine Kontur, bei der nur noch die verbliebenen stumpfen Ecken ausgerundet werden müssen. Mattheck und seine Mitarbeiter konnten zeigen, dass die so gefundenen Formen mit den Ergebnissen der Computer-Methode gut übereinstimmen. Die untere Kerbe muss nicht ausgerundet werden, weil hier das erste Zugdreieck genau entlang der resultierenden Zugspannungen verläuft und diese deshalb keinen Schaden anrichten können. Auch nicht tragende Bereiche von Bauteilen – in der Mattheckschen Terminologie Faulpelzecken getauft – lassen sich graphisch beseitigen, indem an den entsprechenden scharfen Kanten in Zugdreieck-Form Material entfernt wird. Als Ergebnis erhält man in beiden Fällen Kerbkonturen, die unterschiedliche Maße haben können, aber immer gestaltähnlich sind – Mattheck nennt sie die Universalkerbkontur der Natur.

Neun seiner Mitarbeiter prüften die Methode auf Herz und Nieren und fanden bislang keine Fehler. Im Gegenteil, es zeigte sich, dass die Ergebnisse der graphischen Optimierung eine eben so lange Lebensdauer haben wie die Lösungen, die seine Programme vorschlagen, und sich sogar in kürzerer Zeit ermitteln lassen. Auch die Optimierungsergebnisse der Evolution, wie etwa die Form eines Bärenzahnes oder eine Blattkontur, lassen sich per Geodreieck nachvollziehen. Seither rät Mattheck vom Kauf seiner Software eher ab, weil er auch kleine Unternehmen, Handwerker und Designer erreichen will. „Viele Anwender arbeiten nicht mit dem Computer, und sie verstehen uns nicht mehr, wenn wir von der Navier-Stokes-Gleichung oder der von-Mises-Spannung reden. Die vereinfachte Methode ermöglicht eine Volksmechanik zur Schadensprävention, die ganz ohne Formeln auskommt“, sagt Mattheck.

Anwendbar ist sie auf die verschiedensten Bauteile, von großen Kragträgern bis hin zur filigranen Implantat-Schraube, die allesamt eine hohe Zahl von Lastfällen aushalten müssen. In der technischen Welt finden sich überall optimierfähige Kerben: an Uhrenzahnrädern, Schraubengewinden, Brillenbügeln, Türgriffen und sogar am Sohlenprofil der unlängst hervorgeholten Stiefel. Wahre Sollbruchstellen sind dabei nicht nur scharfeckige Kerben, sondern auch die in den Ingenieurswissenschaften immer noch gelehrten kreisrunden Kerben, die in den scharfen Ecken eigentlich Kerbspannungen abbauen sollen. Dennoch treten an runden Kerben nicht selten Risse auf. Wem schon mal die Fahrradpedale oder ein Schlüssel im Schloss abgebrochen ist, wird feststellen, dass sich an der Bruchstelle immer eine Viertel- oder Halbkreiskerbe oder eine scharfeckige Kerbe befand, die Ausgangpunkt für den Ermüdungsbruch nach einer einseitigen Biegebelastung war. Wohl deshalb sind in der Natur keine Kreiskerben zu finden.